理解标准差、方差：看数据 “乱不乱、离群远不远”

标准差和方差，核心都是 衡量一组数据 “离散程度” 的指标

简单说就是看数据们 “是不是挤在一起”，还是 “东一个西一个特别散”。

方差是 “原始计算值”，标准差是 “方差的开平方”，后者更贴近数据本身的单位，好理解、好用。

比如两个班级的数学成绩（满分 100）

班级 A：88、89、90、91、92（全在 90 分左右，挤得近）

班级 B：60、75、90、100、100（分数跨度大，散得开）

这两组数据的平均分都是 90，但离散程度天差地别 —— 方差和标准差就是用来把这种 “差别” 量化成具体数字的工具。

一、先懂方差：数据与平均值的 “平方距离总和”

方差的计算逻辑很简单，通俗拆成 3 步：

算平均值：

先把所有数据加起来，除以数据个数（比如班级 A 的平均值 =（88+89+90+91+92）÷5=90）；

算 “每个数据与平均值的差”：比如班级 A 里 88 和 90 的差是 – 2，89 和 90 的差是 – 1，90 和 90 的差是 0，以此类推；

差的平方求和，再除以数据个数：把第二步的差全平方（避免正负抵消，比如 – 2 的平方是 4），加起来后平均分 —— 这个结果就是方差。
 
举个具体计算（班级 A vs 班级 B）：

班级 A 方差：[（88-90）² +（89-90）² +（90-90）² +（91-90）² +（92-90）²] ÷5 =（4+1+0+1+4）÷5=2；

班级 B 方差：[（60-90）² +（75-90）² +（90-90）² +（100-90）² +（100-90）²] ÷5 =（900+225+0+100+100）÷5=265。
 
方差的意义：数字越大，数据越散—— 班级 B 方差 265 远大于 A 的 2，说明 B 班成绩更乱、差距更大。

但方差有个小问题：单位是 “数据单位的平方”（比如成绩方差单位是 “分 ²”），不像 “分” 那样直观，所以才有了标准差。

二、再懂标准差：方差的 “开平方”（直观又好用）

标准差就是把方差开个平方，解决了 “单位不直观” 的问题，计算超简单：

班级 A 标准差：√2≈1.41（单位是 “分”，和成绩单位一致）；

班级 B 标准差：√265≈16.28（单位也是 “分”）。
 
标准差的意义：数字越大，数据离平均值越远、越分散—— 班级 A 标准差 1.41，说明大部分成绩离 90 分只差 1-2 分；班级 B 标准差 16.28，说明很多成绩离 90 分差十几分，甚至三十分（比如 60 分）。
 
生活里更常见的例子：比如工厂生产零件，规格是 10cm，若标准差是 0.1cm，说明零件尺寸都在 9.9-10.1cm 之间，很标准；若标准差是 1cm，说明零件尺寸从 9cm 到 11cm 都有，质量不稳定。

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